UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
GUÍA VIRTUAL DE MATEMÁTICAS
CURSO DE NIVELACIÓN
Matriz
Definición: Es una matriz de m filas y n columnas,
es un conjunto de elementos colocados en una ordenación rectangular de elementos en las que
sólo se usan números reales. Para denotar matrices utilizáremos letras mayúsculas.
Matriz fila: Se caracteriza por tener solo una fila pero puede tener varias Columnas.
A = [0 1
2 3 4] y
su orden seria 1×5, una fila y 5
columnas.
Matriz columna: Se caracteriza por tener una sola columna y puede tener varias filas. Su orden sería 3×1
Matriz rectangular: Su número de filas y columnas son diferentes, su orden sería de 3 × 4.
Matriz
Nula: Todos los números son igual a 0
exactamente todos tanto filas como columnas, su orden seria 4 × 4.
Matriz cuadrada: El número de filas y columnas coinciden tienen una diagonal principal (a11,
a22,….. ann). Su orden sería 3×3.
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada donde los números por encima y por debajo de la diagonal son nulos. Su
orden seria 4×4
Ejemplos
1.) Matriz rectangular de dimensión 3 × 5
2.) Matriz cuadrada de dimensión 4
3.) Siendo la matriz cuadrada de orden 2×2 decir
Ubicar a que diagonal pertenece lo elementos
De color rojo y los de color negro.
Diagonal principal: a11= 1 ; a22= 4
Diagonal secundaria: a12 = 2 ; a21 =
3
4.) Matriz nula de orden 2 × 3
5.) Matriz diagonal de orden 4 ×4
Operaciones con matrices
Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A= (aij) y B= (bij), se define la
Matriz suma como: A+B= (aij+bij).
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que
ocupan la misma posición.
Restar matrices:
Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan
las mismas posiciones:
Producto de un escalar por una
matriz
Dada una matriz A= (aij) y un número real k
R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del
mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. KA= (k aij)
R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del
mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. KA= (k aij)
Producto de matrices
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A
coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de, la matriz producto se obtiene multiplicando cada
elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la
matriz B y Sumándolos
Proceso:
Sólo se pueden multiplicar matrices cuando el número de columnas del Multiplicando coincide con el de filas del
multiplicador.
Un procedimiento sencillo de llevar a cabo esta operación es colocar cada
fila del multiplicando en forma de columna y colocarla enfrente del
multiplicador y hacer el producto de los elementos que hallen uno frente al
otro:
Ejemplo:
Y lo mismo con la 2ª fila que sería:
El resultado de un producto de matrices es una matriz con el número filas Igual al multiplicando y el número de columnas
igual a las que tiene el Multiplicador.
PROPIEDADES:
SUMA
●
Asociativa: (A+B)+C
= A+(B+C)
●
Elemento neutro:
A+0 = 0+A = A
●
Elemento
simétrico: A+(-A) = (-A)+A = 0
●
Conmutativa: A+B
= B+A
PRODUCTO
●
t.(A+B) = t.A + t.B
●
(t+s).A = t.A + s.A
●
1.A = A
●
t.(s.A) = (t s).A
Matriz Traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de “A” a la matriz
que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Ejemplos
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.-Con las matrices:
Calcular
· A − B;
· A x B;
· B x A
2.-Con la matriz:
Demostrar
que: A2 − A − 2I = 0,
3.-Calcular la matriz inversa de:
4.-Obtener las matrices A y B que
verifiquen el sistema:
5.-Con las matrices:
Calcular el Valor de X en las siguientes ecuaciones:
Calcular el Valor de X en las siguientes ecuaciones:
6.-
Calcular
a) AB
b) BA
c) CA
d) AB+C
7.-Resolver en forma matricial, el sistema:
8.-
Calcular
a) 2A+B
b) AB
c)BA
9.-
Calcular
a) AB
b) BA
10.-Calcule el determinante de
la matriz:
11.- Calcule el determinante de la matriz:
12.-Construir una matriz del tipo M = (A | I)
13.-
